Demostrando menos por menos igual a más

Seguramente te habrá surgido la duda muchas veces o tal vez nunca (aunque por algo estas acá) de ¿por que la regla de los signos debemos memorizarla de tal manera? ¿Por que los profesores no dicen que debemos memorizar que...?:

- . - = +

- . + = -

+ . - = -

+ . + = +

O bien para memorizarlo nos dicen, las multiplicaciones de distintos signos da negativo (o sea un -) y los de igual signo da positivo (o sea un +)...

Y de esto se trata este articulo, es poder sacar esa duda que muchos tenemos a través de demostraciones sencillas (y espero que con una muy buena explicación).


Empecemos con los productos de distintos signos, aunque antes de empezar nos vamos a preguntar si realmente sabemos ¿qué es un producto?, se podría decir que el producto es una manera de expresar una suma de forma reducida.

Veamos: 2*12=24 o lo que es lo mismo 12*2=24, nos esta queriendo decir la primera que debemos sumar 12 veces el numero 2, y la segunda que debemos sumar el número 12 dos veces (ya que el múltiplo es por 2, si decía 3 deberíamos sumar 3 veces, si era 4 deberíamos sumar 4 veces....).

Por lo tanto decimos que 12*2=24, que es lo mismo que 12+12=24.(ya que dijimos que la multiplicación no es mas que una suma) ¿A qué quiero llegar con esto?: Que si sabemos que la multiplicación es el resumen de la suma, podemos demostrar la regla de los signos con sumas.

Por ejemplo: -12 * 2 es lo mismo que decir (-12) + (-12) = -24, y de esta manera muy sencilla se demostró que - * + ó + *- es igual a -, y ¿qué pasa con - * - =  + ? 

Y para demostrar que negativo por negativo da positivo, voy a explicar de esta manera:

Sabiendo que el inverso aditivo de un numero es el opuesto del numero y que su suma da como resultado cero, nos queda por ejemplo que:

-1 es el inverso aditivo de 1, entonces, por definición:

1+(-1)=0

Ahora lo que vamos a hacer sera multiplicar ambos miembros por -1

-1*(1+(-1))=-1*0

Y como sabemos que multiplicando cualquier número por cero nos da cero, y aplicando la distributiva nos quedaría la expresión de la siguiente manera

(-1)(1)+(-1)(-1)=0

como podemos ver (-1)*(1), es una expresión conocida (es lo explicado en la parte superior), por lo tanto podemos resolver esa parte de la expresión y luego sumamos 1 a ambos miembros

1+(-1)+(-1)(-1)=1

volvemos a observar que tenemos una expresión conocida que es 1+(-1)= 0 por lo tanto

0+(-1)(-1)=1

que es lo mismo decir (-1)(-1)=1, y de esta manera podemos observar que - * - = +