¿Por qué aparece el 9 en la transformación de números decimales periódicos puros y mixtos a fracción?

Cómo saben en este blog no solo intento enseñar un poco matemática de una manera facil y divertida (es lo que intento), sino que también trato de buscar y explicar el porque se debe realizar de tal manera algunas operaciones matemáticas.

En este caso voy a hablar de ese famoso 9 (o de esos famosos 9 ) que deben aparecer como denominador (cuando transformamos números decimales periódicos y mixtos a fracción).



Si se trata de un número decimal exacto, sera mas fácil pasar a fracción, ya que debemos escribir la parte entera y la parte decimal (sin la coma) como numerador (para el que no recuerda el numerador es la parte de arriba de la fracción).

Por supuesto que 435 se puede expresar como 5*87, y lo mismo con 10 = 5*5, por lo tanto la fracción se puede expresar como 87/5 pero no es el caso de explicar esto. (en otro articulo puede que lo explique).

Ahora vamos a la "transformación" de número decimal periódico puro y mixto a fracción (que es lo que nos interesa)

En la escuela nos enseñaron que lo que debemos hacer es lo siguiente:

Que nos dice esto: que escribamos el número decimal periódico puro sin la coma, y que restemos la parte no periódica (el antiperiódo ) y que en el denominador iba tantos 9 como cifras en el período tenga (en este caso solo uno)

¿Cómo demostramos esto? ¿Porque va un 9?...cuantas veces nos surgieron estas dudas, porque en la escuela no nos decían, el porque, solo que memoricemos como se hace. Aquí les traigo la demostración del porque van los 9:

Primero escribo de esta manera:

X = 1,33333...  (1)

Luego multiplicamos a ambos miembros por 10 (en este caso que tenemos solo una cifra periódica, si tendríamos 2 cifras periódicas multiplicaríamos por 100, si tendríamos 3 lo haríamos por 1000,etc)

10X = 13,3333...  (2)

Y por ultimo realizamos la siguiente operación (2)-(1) ,entre las dos expresiones obtenidas y despejamos la X:

10X = 13,3333...

- X = 1,33333...

                                                                 9X =12

X=12/9

De esta manera,queda demostrado de donde sale el 9 en la fracción obtenidas desde números decimales periódicos puros (la expresión obtenida se puede seguir simplificando, pero en esta explicación no viene al caso) , y de manera similar podemos hacerlos con una expresión periódica mixta (para que lo podamos ver continuare con un ejemplo aquí abajo)

X = 0,1242424...

Lo multiplicamos por 10 ( en este caso porque tenemos un solo numero después de la coma, que no pertenece al período que es el 1 )para poner en anteporiodo delante de la coma.

10X = 1,242424... (1)

ahora nos fijamos que el periodo es el 24, por lo tanto tenemos dos números periódicos, y si recuerdan tendríamos que multiplicar por 100, quedándonos de la siguiente manera

1000X = 124,2424...(2)

Restamos la expresion (1) en (2) y por ultimo despejo X

1000X = 124,2424...

-10X = 1,242424...

990X = 123

X = 123/990

Nuevamente espero que le guste mis explicación, que sean entendidas y divertidas...