martes, 30 de junio de 2015

Los candados - Permutación sin repetición.

Mire el candado que figura a continuación:

Estos candados funcionan de la siguiente manera: entre todas las combinaciones de cuatro dígitos, hay una sola que es la que permite abrir la cerradura.


Parece sencillo,pero la pregunta es ¿Cuán difícil es encontrar esa combinación?, es decir, si tendrían uno en su mano, y tendría que intentar con pocos números, (imaginemos con dos dígitos, y no cuatro como vemos en este ejemplo) el candado seria mas vulnerable, pero si la cantidad de variantes son más grande, el intento de vulnerar el candado sera más complicado, por supuesto que a muchos le va a llamar la atención y buscaran distintas alternativas para descifrar los dígitos. Entonces nos volvemos a preguntar: ¿ cuán difícil es encontrar la combinación indicada si uno tiene nada más que cuatros dígitos?

Lo invito a que me acompañe a pensar algunas variantes dependiendo si acepta la repetición o no, cuantos dígitos uno puede elegir.
Debo aclarar que en todas las posibilidades que vamos a tratar, el candado tiene siempre cuatros lugares( ni más, ni menos).

Comencemos con el primer caso:

Supongamos que uno tiene cuatros dígitos de los cuales elegir. O sea, para ocupar los lugares, solamente se puede elegir {1,2,3,4}. Y ademas de esto, vamos a proponerle dos casos: que se puedan repetir los dígitos, y en donde no se pueda repetir. Analicemos las diferencias.

Sin repetición:

Para el primer lugar podemos ocupar cualquiera de los cuatros dígitos. Una vez elegido el primer, queda nada más que tres para el segundo lugar (ya que dijimos que no se pueden repetir los dígitos). Por lo tanto, entre los dos primeros lugares hay doce posibles combinaciones. (Esto resulta de multiplicar 4 por 3). ¿Por que? (si recuerdan mi articulo de Conteo: principio de multiplicación, no hace falta que lo explique, pero lo voy a explicar igual).

12, 13 y 14 (son las tres que empiezan con el número uno)
21, 23 y 24 (son las tres que empiezan con el número dos) y así seguimos con los otros...
31, 32 y 34
41, 42 y 43
(Si recuerdan las maneras de protegerse del frió con las camperas y los buzos en artículos anteriores, pueden entender, si es que aun no llegan a entenderlo)

Ahora agreguemos el tercer dígito. Como ya sabemos los dos primeros dígitos ya lo tenemos calculados, y tal como lo hicimos con los lugares anteriores (ya que no se puede repetir) en este tercer lugar, podemos elegir entre los dos dígitos que tenemos disponibles.. En total tenemos 12 x 2 = 24.

Y no hay más combinaciones, ya que eligiendo los tres primeros dígitos, el último queda determinado inmediatamente.

Para ir concluyendo, hay 24 posibles combinaciones distintas que se pueden conseguir para abrir el candado de cuatro lugares y cuatro dígitos sin repetición.

Y de esta manera sencilla entramos a explicar una permutación sin repetición, y en este caso para calcular números más grandes debemos utilizar el factorial (muy pronto estaré explicando de que se trata el factorial), en este caso para ir entrando en el tema nos quedaría 4! (se lee cuatro factorial) = 4x3x2x1.

Si te gusto, lo entendiste, comprendiste y aprendiste, ayudarme a que muchas personas como vos puedan aprender con este artículo, compartiéndolo en tus redes sociales.


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