Máximo o mínimo

Cuando estamos haciendo el análisis de una función, sabemos que para buscar un máximo o un mínimo solo tenemos que realizar la segunda derivada de dicha función y mirar si su signo es positivo o negativo.

Dicha regla es muy práctica a la hora de hacer un análisis, pero ¿te detuviste a pensar alguna vez de donde sale esa regla?

Como ustedes saben, en este blog me gusta hablar mucho del porque de las matemáticas, y así lo vamos a hacer también para este nuevo análisis, le pido que me acompañe a esta maravillosa interpretación de la regla de la segunda derivada para encontrar máximos y mínimos.

Se ve en la grafica, en nuestro ejemplo se va a demostrar o mejor dicho interpretar un máximo a través del Polinomio de Taylor (Polinomio que sera explicado en proximos articulos), que se lo conoce por la facilidad que tiene para poder aproximar un valor de una función.

En este ejemplo nosotros necesitamos el Polinomio de Taylor hasta la segunda derivada, lo cual nos quedara de la siguiente manera:

 

Sabemos que f(x0) es un punto critico de la función, es el punto máximo ( en este caso porque lo estamos viendo en nuestra gráfica), mejor dicho vamos a tomarlo como un punto cualquiera (pero es el punto que queremos saber si es máximo o mínimo). ¿Y cómo sabemos que ese punto, es un punto critico de la función? la respuesta es mu facil, solo tenemos que igualar a cero la primer derivada y "buscar el valor (o los valores), para el cual la función se hace cero" (tema que tambien sera explicado más adelante).

Sigamos con lo nuestro, lo que haremos sera restar el punto critico a f(x) (este sera un punto cualquiera) y tambien, ya sabemos que la primer derivada sera igual a cero, por lo tanto el termino que contiene a la derivada primera sera cero.

 

Ahora tomamos un punto cualquiera, supongamos que vamos a tomar el que nos indica la gráfica:

Si resolvemos f(x) - f(x0), nos daremos cuenta que nos va a dar un número negativo, lo invito a resolver y a elegir cualquier f(x), para comprobar que en este caso nos va a dar siempre un número negativo (ya que f(x0) es un máximo, nos daria positivo si f(x0) es un mínimo), sigamos con más analisis, ahora nos queda resolver (x-x0)^2 , claro , creo que ya te habras dado cuenta que siempre vamos a tener un número positivo, por lo tanto nos queda nada más,ni nada menos que dcecir que f''(x0) sera el responsable de darnos el número negativo para que cumpla la igualdad.

Espero que te haya gustado la interpretación, no dejes de visitarnos que vamos a tener muchos más analisis matematicos.